前文回顾：顶尖设计术，圆弧生万物——把logo设计师当场气去世的数学艺术
用圆弧近似对数螺线的艺术
自古以来，用圆进行创作的过程一贯吸引着几何学家和工匠们。本文简要先容从古到今各种涉及圆的设计及其运用，从几何证明到装饰品。
早期的圆圈运用
曲线元素具有分外的审美吸引力，并被不同文化背景的艺术家以各种办法加以利用。乃至可以说，第一个非线性设计元素是在某个无名的洞穴人用棍子在沙子或泥巴上画出360°旋转时创造的。总之，这是一系列实用和装饰运用的开始。
例如，范·布鲁梅伦（Van Brummelen）的书《天地数学》（The Mathematics of the Heavens and the Earth）[1]中评论道:“许多古代和中世纪的三角学都利用圆和圆弧作为参考图形，而不是利用三角形。”值得把稳的是，圆在几何证明中可能会不期而遇地涌现。例如，任何数的平方根都可以用外接圆内的重叠圆来求。图1给出了求3的平方根的一个例子。
图1：求平方根
由于半圆内接的角是直角，以是图1中的三角形都是相似的。设a = 1，b = 3。然后，根据相似三角形的几何性子：
也便是说，垂线x的长度即是3的平方根。通过利用适当数量的圆圈并将第一个半径设置为1，可以用任意数字代替b。
扭索饰和所罗门结
一种在不同文化中广泛利用的经典圆形设计是扭索，如图2所示。它被韦伯斯特定义为“由疏松交织的带子组成的装饰性设计，开口处添补有圆形装饰物”，它有许多不同的形式。图2和图3展示了公元前7世纪亚述设计的一个当代例子。
图2：当代扭索设计
图3：公元前7世纪亚述饰带
圆形扭索被称为所罗门结，几个世纪以来也被广泛利用。如图4所示，它可以用任意数量的圆和彩条来布局。
图4：所罗门结的两个版本
广义n圆扭索可以用以下办法布局[4]。
1.在外圆内画n个圆，使所有圆彼此相切。拜会图5。把圆平分成n个相等的部分，就可以做到这一点。拜会图6。平分角θ。在平分线与外圆交点处作一条切线。画出切线的半径，找到中点，画一个圆。重复n - 1次。
2.根据须要画出更大和更小的圆，形成一个带状图7。
3.擦去适当的线条，形成所需的带状交织。
图5~7
达芬奇的月牙形
列奥纳多·达芬奇(1452-1519)晚年才对几何学产生兴趣，但之后一贯系统地从事几何学研究，直到去世。他对月牙形的运用特殊感兴趣，留下了两页俊秀的手稿，上面写满了170多个半圆形的图案，这便是他的“月牙形”。月牙的某些部分被添补了，看起来他在展示每一个设计中的面积守恒。在每一幅图中，添补的部分总是具有相同的总面积。
许多图都基于图8中的框架。两个灰色部分的面积相等，这可以用下面的逻辑来证明。图9，假设外圆的半径即是1，则全体圆的面积便是π。图10，半径为1/2的内圆的面积是π/4。图11，内圆的上半部分的面积为π/8，图12中的灰色部分也是如此，由于灰色部分的角度为45°。图8展示了这两个相等区域的唯一差异。也便是说，这两个灰色区域面积必定相等。
图8~12
现在人们可以看到在一个侧面有8个相等的区域，个中6个是 "杏仁形"，2个是 "钩形"。每次可以任意添补4个区域。可能的组合数将从n个不同元素中取出4个元素的组合数，即70。作者天生了所有70个可能的双对称设计的表格，图13只显示了个中的4个。达芬奇在他的图中包括了这4个，他也画了其他图案，但不是70种中的全部。然而，还有许多其他的等面积组合，他确实包括在内。个中一些已在[7]中谈论过，而其他的则是正在进行的研究的主题。
图13：70种可能组合中的4种，所有添补区域的面积都是相等的。
扇形的面积
圆形的一部分的面积可以从对着它的角θ的大小得到。精确值由下式给出：
在图14中，角度90°形成浅灰色部分，半径为1/2，面积即是1/8(pi/2-1)≈0.07135平方单位。这可以被称为基本单元，由于它构成了所有先前设计的根本。在图15中，灰色部分的面积是0.1427平方单位，即是2倍的基本单元。达芬奇在他的图中利用了这种关系，如图16所示。同样，添补区域的面积相等。
图14~16
圆形设计的后期利用
圆的创造性利用超过了许多个世纪，并蕴含在许多文化中。这里只能做一个大略的先容，只管还有许多其他的用场也值得包括在内。个中有两个与几何学和艺术都有特殊紧密的联系，一个是公元8世纪繁芜的凯尔特卷轴艺术，另一个是中世纪哥特式建筑中俏丽的窗饰。
19世纪和20世纪两位最伟大的美国建筑师也在他们的作品中利用了圆圈。路易斯·沙利文(1856-1924)以华美的装饰风格和他的建筑项目而有名。他最具标志性的设计之一是1893-1894年为芝加哥证券交易所大楼设计的圆形电梯格栅。拜会图17。
图17：路易斯·沙利文的“电梯格栅”(1894年)
弗兰克·劳埃德·赖特(Frank Lloyd Wright，1867-1959)以其创新的草原风格建筑而有名，他强调当代水平线。然而，他常常利用几何元向来装饰他的设计细节。图18展示了他1912年的一扇可爱的窗户。它是为伊利诺伊州里弗赛德的艾弗里·库恩利戏院设计的，其特色是色彩鲜艳的圆圈，代表气球。
图18：弗兰克·劳埃德·赖特的戏院窗户(1912)
追溯一个特定的设计元素在不同期间和不同文化中的利用情形是非常有趣和有启示性的。圆肯定是最基本的单位之一，但它在装饰性和实用性方面的运用却非常广泛。一些文化彷佛很少利用它，而另一些文化则广泛地利用它。纯粹的功利性运用包括从几何学证明到建筑装饰。技能的进步也起到了一定的浸染。随着新技能的涌现，富有冒险精神的设计师可以利用它们来扩大他们的创造范围。末了，艺术家、建筑师或数学家的聪明才智对圆的俏丽利用贡献最大。
参考文献
[1] Glen Van Brummelen, The Mathematics of the Heavens and the Earth, Princeton University Press, 2009
[2] Robert Dixon, Mathographics, Dover Publications, 1991
[3] Lewis F. Day, Pattern Design, Dover Publications, 1999
[4] Paul A. Calter, Squaring the Circle, Key College Publishing, 2008
[5] Fritjof Capra, The Science of Leonardo, Anchor Books, 2007
[6] Carlo Pedretti, Leonardo Da Vinci, Taj Books, 2006
[7] Susan McBurney, Decoding DaVinci, Joint Mathematics Meeting, New Orleans, LA, 2011
[8]Susan McBurney, Creative Circle Design
青山不改，绿水长流，不才辞职。
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