这是一个定理：设f在点x0连续，在某邻域U0(x0,δ)内可导:
1、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，则f在点x0取得极小值.
2、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≥0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≤0，则f在点x0取得极大值.
证明这个定理非常随意马虎，由于当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，以是f在(x0-δ,x0)内递减.
当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，以是f在(x0-δ,x0)内递增.
即对任意x∈U(x0,δ)，恒有f(x)≥f(x0)，符合极小值的定义，以是f在x0取得极小值。
同理可证2.
这个定理就称为极值的第一充分条件。运用这个定理求函数的极值时，步骤与上面的证明过程险些同等。下面是老黄精心设计的一道例题，可以帮助大家彻底理解这个定理。
例：求f(x)=x^3/3+2x^2-5x-1/3, x<2；=-x/3+2, x>=2的极值点与极值。(这是一个分段函数)
解：当x<2时, f’(x)=x^2+4x-5=(x+5)(x-1),
且当x≤-5时，f’(x)≥0，f(x)递增；当-5≤x≤1时, f’(x)≤0, f(x)递减；当1≤x<2时，f’(x)≥0，f(x)递增；
又lim(x->2-)f(x)=lim(x->2+)f(x)=1/3=f(2)，以是f(x)在x=2连续，且当x≥2时，f(x)递减；
以是在极值点x=-5, 有极大值f(-5)=83;
在极值点x=1, 有极小值f(1)=-3.
在极值点x=2, 有极大值f(2)=1/3.
这个函数的图像大致如下图：
利用极值第一充分条件，求极值点和极值的一样平常步骤：
1、对可导的点(邻域)，先求导函数，并解得导函数的零点；对不可导的点，先证明连续；
2、分别求证该点两侧函数的单调性：如果左增右减，则为极大值点；如果左减右增，则为极小值点；
3、求极值点的函数值，便是对应的函数极值。
您学会了吗？末了提醒一下，这个定理只是极值的充分条件，而不是必要条件，自然就更不是充要条件了。
